Conceito

A palavra Equação deriva da palavra igual.

Equação do 1º grau é uma igualdade entre duas expressões algébricas de primeiro grau.

A Equação é uma importante ferramenta para resolver problemas. Está presente também na Física e na Química, na forma de Fórmulas que representam os conceitos básicos destas e também de outras ciências.

Resolver uma equação é descobrir o valor da incógnita.

Exemplo 1:
6 + 5x = 12 + 3x
Essa equação se transforma numa identidade quando atribuímos a x o valor 3:
X = 3     ⇒   6 + 5.x = 12 + 3.x   ⇒ 21 = 21  e temos uma identidade.

A letra x na equação, é denominada a variável da equação ou incógnita, enquanto que o número 3 é chamado de solução da equação ou elemento do conjunto verdade.

Numa equação, o que está antes da igualdade, ou do lado esquerdo é chamado de primeiro membro, e o que está do lado direito, ou depois do sinal de igual, é chamado de segundo membro da equação.

Exemplo 2:

     3x – 12      =      7 + x

1° membro         2° membro

Tipos de equações do 1º grau (primeiro grau)

As equações podem ter uma ou mais incógnitas ou variáveis:

Exemplos 3:

4 + 2x = 11 + 3x (uma incógnita ou uma variável)

y – 1 = 6x + 13 – 4y (duas incógnitas ou duas variáveis)

8x – 3 + y = 4 + 5z – 2 (três incógnitas ou três variáveis)

Forma normal

Uma equação está na forma normal quando todos os seus termos estão no primeiro membro reduzido e ordenado segundo as potências decrescentes de cada variável.

Exemplos 4:
5x – 20 = 0
x² – 3x – 40 = 0
4x⁴ + 13x³ – 14x² – x 41 = 0

Tipos mais comuns de uma equação do 1º grau (primeiro grau)

As equações mais simples.

Quando a variável não tem nenhum coeficiente, ou seja, quando a incógnita não está acompanhada de um número. Para resolver este tipo, basta isolar a variável.

Exemplo 5:

x – 6 = 10

x = 10 + 6

x = 16

As equações classificam-se em inteiras e fracionárias.

Exemplo 6:

2x – 16 = 0  (racional inteira)

$$\frac{2}{x} + 1 = 5,  x > 0 (racional fracionária)$$

Equações equivalentes

Duas ou mais equações são equivalentes quando admitem as mesmas soluções ou mesmos conjuntos verdade.

Exemplo 7:

3x – 9 = 0  =>  admite 3 como solução (ou raiz)

4 + x = 7  =>  admite 3 como solução (ou raiz)

Então, podemos dizer que estas equações são equivalentes.

Equação Básica

É a equação que não tem nenhuma outra letra diferente a não ser as letras das incógnitas ou variáveis.

Exemplo 8:

x – 5 = -2x + 22

Equações literais

Toda equação que contém outra letra, além das que representam as variáveis.

Exemplo 9:

3ax – 5 = ax + 4 (na variável x)

Equações possíveis e determinadas

São as equações que admitem um número finito de soluções. Uma equação do 1º grau com só uma variável só admite uma única solução.

Exemplo 10:

x – 2(x + 1) =  1 (admite, somente, o número 1 como solução)

S = V = {1} conjunto unitário (conjunto que possui somente um elemento)

Equações possíveis e indeterminadas

Equações que admitem infinitas soluções, ou seja, um número infinito de soluções. Também denominada de identidades. Seu conjunto verdade é representado por um cojunto de números.

Exemplo 11:

5x – 2y = 105 (admite infinitas soluções)

Equações impossíveis

São todas as equações que não admitem soluções. Seu conjunto solução é o conjunto vazio

Exemplo 12:

x + 2 = x + 3

x – x = -2 + 3

0 = 1

Não forma uma igualdade.

V = S = {} = vazio